Proposition :
On suppose que \(\operatorname{dim} E=n\) et on fixe une base \(\{e_i\}^n_{i=1}\) de \(E\)
\(\forall x,y\in E\), on a : $$\begin{align} x&=\sum^n_{i=1}x_ie_i\quad\text{ et }\quad y=\sum^n_{j=1}y_je_j\\ \sigma(x,y)&=\sum^n_{i=1}x_i\left(\sum^n_{j=1}a_{ij}y_j\right)\\ &={{x^TAy}} }}\end{align}$$ où \(A={{(a_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\} } }}\)
\(A\) est dite la matrice de \(\sigma\) dans les bases \(\{e_i\}^n_{i=1}\) de \(E\), avec $${{a_{i,j} }}={{\sigma(e_i,e_j)}}$$
(Matrice transposée)
Changement de base
Proposition :
Soient \(\{e_i\}^n_{i=1},\{e_i'\}^n_{i=1}\) deux bases de \(E\) et \(C=(c_{ij})\) la matrice de changement de base $$e'_i={{\sum^n_{i=1}c_{ji}e_j}}$$
(Changement de base)
Formule de changement de base pour une forme bilinéaire :
Soient \(\{e_i\}^n_{i=1}\) et \(\{e_i^\prime\}^n_{i=1}\) deux bases $${{A^\prime=C^TAC}}\quad\text{ avec }\quad\begin{array}{l}A^\prime{{\text{ la matrice de }\sigma\text{ dans la base }\{e^\prime_i\}^n_{i=0} }}\\ A{{\text{ la matrice de }\sigma\text{ dans la base }\{e_i\}^n_{i=0} }}\\ C{{\text{ la matrice de passage de }\{e_i\}^n_{i=0}\text{ à }\{e_i^\prime\}^n_{i=0} }}\end{array}$$
(Matrice transposée)
Proposition :
Après changement de base dans la base \(\{e'_i\}^n_{i=1}\), \(\sigma\) a la forme : $$\sigma(x',y')={{x^T\underbrace{C^TAC}_By}}$$ avec \(B\) la matrice dans la base \(\{e'_i\}^n_{i=1}\)
(Matrice transposée, (Matrice))
Définition d'un espace de Hilbert par une forme bilinéaire :
soit \(H\) un espace de Hilbert
soit \(a:H\times H\to{\Bbb R}\) une forme bilinéaire
\(a\) est symétrique, continue et coercitive
$$\Huge\iff$$
le couple \(\langle{x,y}\rangle _a:=a(x,y)\) définit un espace de Hilbert sur l'ensemble \(H\)
la norme \(\lVert x\rVert_a:=\sqrt{a(x,x)}\) est équivalente à la norme originale de \(H\)
[!Note] Notation
Si \(a\) est une forme bilinéaire, on note \(H_a\) la structure d'espace de Hilbert sur \(H\) donnée par \(a\)
Caractérisation de la surjectivité
Proposition :
Pour une forme bilinéaire \(u\) non dégénérée, on a l'équivalence : $${{ u\text{ surjective} }}\iff{{\operatorname{Im}(u)\text{ fermée} }}$$
(Fermé)